2016-09-24

排序算法之堆排序

堆排序是一种树形选择排序方法，它的特点是：在排序的过程中，将array[0，…，n-1]看成是一颗完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲节点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（最小）的元素。

若array[0，…，n-1]表示一颗完全二叉树的顺序存储模式，则双亲节点指针和孩子结点指针之间的内在关系如下

任意一节点指针 i：
父节点：i==0 ? null : (i-1)/2
左孩子：2i + 1
右孩子：2i + 2
堆的定义：n个关键字序列array[0，…，n-1]，当且仅当满足下列要求：(0 <= i <= (n-1)/2)
- array[i] <= array[2i + 1] 且 array[i] <= array[2i + 2]；称为小根堆；
- array[i] >= array[2i + 1] 且 array[i] >= array[2i + 2]；称为大根堆；
建立大根堆：

n个节点的完全二叉树array[0，…，n-1]，最后一个节点n-1是第(n-1-1)/2个节点的孩子。对第(n-1-1)/2个节点为根的子树调整，使该子树称为堆。

对于大根堆，调整方法为：若【根节点的关键字】小于【左右子女中关键字较大者】，则交换。

之后向前依次对各节点（(n-2)/2 - 1）~ 0为根的子树进行调整，看该节点值是否大于其左右子节点的值，若不是，将左右子节点中较大值与之交换，交换后可能会破坏下一级堆，于是继续采用上述方法构建下一级的堆，直到以该节点为根的子树构成堆为止。

反复利用上述调整堆的方法建堆，直到根节点。

4.堆排序：（大根堆）
　　1. 将存放在array[0，…，n-1]中的n个元素建成初始堆；
　　2. 将堆顶元素与堆底元素进行交换，则序列的最大值即已放到正确的位置；
　　3. 但此时堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持大根堆的性质，再重复第②③步，直到堆中仅剩下一个元素为止。

堆排序算法的性能分析：

空间复杂度:O(1)；
时间复杂度:建堆：O(n)，每次调整o(log n)，故最好、最坏、平均情况下：o(n*logn);
稳定性：不稳定

public class HeapSort {

    //将元素array[k]自上往下逐步调整树形结构
	public static void heapAdjust(int[] array, int k, int length) {
        int temp = array[k];
        //i为初始化为节点k的左孩子，沿节点较大的子节点向下调整
        for(int i = 2 * k + 1; i < length -1  ; i = 2 * i + 1) {
            //左右孩子的节点分别为2*i+1,2*i+2

            //选择出左右孩子较小的下标
            if(i < length && array[i] < array[i+1]) {
                i ++; //如果节点的右孩子>左孩子，则取右孩子节点的下标
            }
            if(temp >= array[i]) { //根节点 >=左右子女中关键字较大者，保持稳定
                break; 
            }else {
                array[k] = array[i]; //将子节点上移
                k = i; //【关键】修改k值，以便继续向下调整
            }
        }
        array[k] = temp; //插入正确的位置
    }

    public static void heapSort(int[] array) {
        if(array == null || array.length == 0)
            return ;
        //建堆：从最后一个节点array.length-1的父节点（array.length-1-1）/2开始，直到根节点0，反复调整堆
        for (int i = (array.length - 2) / 2; i >= 0; i--) {
            heapAdjust(array, i, array.length);
        }
        //排序过程
        for(int i=array.length-1; i>0; i--) {
            int temp = array[0];
            array[0] = array[i];
            array[i] = temp;
            heapAdjust(array, 0, i);//整理，将剩余的元素整理成堆
        }

    }
}